contoh Latihan Soal Matematika Bab Deret Aritmatika, Bab Limit Fungsi, dan Bab Turunan

1.Un=2n -1
     Tentukan harga buah suku pertama dari barisan yang memilik rumus suku ke – n
      Un = 2n -1
      jawab =
                    Un=2n -1
                    Un = 2n-1
                    U1 = 2.1-1=1
                    U2 = 2.2-1=3
                    U3 = 2.3-1=5
       jadi 3 suku pertama 1,3,5
  2.tentukan 3 buah suku pertama dari barisan yang memiliki rumus suku K - n  Un = 5n-1
     jawab =
                    Un = 5n-1
                    U1 = 5.1-1=4
                    U2 = 5.2-1=9
                    U3 = 5.3-1=14
                    U4 = 5.4-1=19
                    U5 = 5.5-1=24
       jadi 5 suku pertama 4,9,14,19,24
3.Tentukan 4 buah suku pertama dari barisan yang memiliki rumus suku ke-n Un = n² + 4
    Jawab =
                   Un = n² + 4
                   U1 = (1)²+4=5
                   U2 = (2)²+ 4=8
                   U3 =(3)²+4=10
                   U4 = (4)²+4=12
      jadi 4 suku pertama = 5,8,10,12
  4. Tentukan rumus suku ke-n untuk setiap brisn di bawah =
       3,5,7,9,11.....
       jawab = 3,5,7,9,11...?
                      3=2(1-1)
                      5=2(1)-1
                      7=2(1)-1
                     9=2(1)-1
                     10=2(1)-1
       jadi rumus suku ke -n =Un = 2n-1

5. Tentukan rumus suku ke-n untuk setiap barisan di bawah
        13,11,9,7,5,3,1
        jawab =
                      13=-2(1)+11
                      11=-2(1)+11
                       9=-2(1)+11
                      7=-2(1)+11
                       5=-2(1)+11
                       3=-2(1)+11
                       1=-2(1)+11
              jadi rumus suku ke-n =Un=-2 (n)-1
   6.Tentukan notasi sigma untuk setiap deret berikut
      a.3+6+9+....+60
      b.∑²⁰₃₁
       i =1
    7. Diketahui barisan aritmatika 1,4,7,10,13,15
        jawab =
                      1,4,7,10,....
                       a=1 b=3
                       U15=1+(15-1).3
                              =1+42
                               = 43

8. Sutu deret aritmatika 5,15,25,75....
     berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut
     jawab =
                  n=10
                  U1= a=5
                   b=15.5=25-15=10
                   

                        sn = (2a+(10-1)10)
                          S₁₀=(2.5+(10-1)10)
                        =5(10+ 9.10)
                         =5.100
                        =500
9.sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil jika suku pertamanya 4 dn suku terakhir adalah 20 mak suku tengahnya adalah.....
  jawab =
                a =a
                 Un =20
                 Un =a+Un/2 = 20+4/2=12
10. Diketahui sutu barisan aritmatika 2,5,8,11,14.....Un
       tentukn rumus suku ke-n dalam barisan aritmatika tersebut
      jawab =a=2
                     b=3
                        Un= a+(n-1)b
                      Un=2+(n-1)3
                      Un=2+3n-3
                       Un=3n-1

11. Tentukan suku ke 8 dari barisan -3,2,7,12,....
       jawab = a =-3
                      b =U₂ –U₁=2-(-3)=5
                   U₈=a+(n-1)b

                        =-3+(8-1)5

                        =-3+35 = 32

12.Nilai dari limx→24−x23−√x2+5 = ...
jawab=
limx→24−x23−√x2+5=limx→24−x23−√x2+5⋅3+√x2+53+√x2+5=limx→2(4−x2)(3+√x2+5)9−(x2+5)=limx→2(4−x2)(3+√x2+5)4−x2=limx→2(3+√x2+5)=3+√22+5=6

13.Nilai limx→2(2x2−4−3x2+2x−8) = ...

jawab=
limx→2(2x2−4−3x2+2x−8)=limx→2(2(x+2)(x−2)−3(x+4)(x−2))=limx→22(x+4)−3(x+2)(x+2)(x−2)(x+4)=limx→2−(x−2)(x+2)(x−2)(x+4)=limx→2−1(x+2)(x+4)=−1(2+2)(2+4)=−124

14.Nilai limx→6√3x−2−√2x+4x−6 = ...

jawab=:
limx→6√3x−2−√2x+4x−6=limx→6√3x−2−√2x+4x−6⋅√3x−2+√2x+4√3x−2+√2x+4=limx→6(3x−2)−(2x+4)(x−6)(√3x−2+√2x+4)=limx→6(x−6)(x−6)(√3x−2+√2x+4)=limx→61√3x−2+√2x+4=1√3(6)−2+√2(6)+4=18

15.Nilai limx→3x2−x−64−√5x+1 = ...
jawab=

limx→3x2−x−64−√5x+1=limx→3x2−x−64−√5x+1⋅4+√5x+14+√5x+1=limx→3(x2−x−6)(4+√5x+1)16−(5x+1)=limx→3(x−3)(x+2)(4+√5x+1)−5(x−3)=limx→3(x+2)(4+√5x+1)−5=(3+2)(4+√5(3)+1)−5=−8
16. Nilai limx→2x3−4xx−2 = ...
jawab=

limx→2x3−4xx−2=limx→2x(x2−4)x−2=limx→2x(x+2)(x−2)x−2=limx→2x(x+2)=2(2+2)=8






17.Nilai limx→3x2−9√10+2x−(x+1) = ...
jawab=
limx→3x2−9√10+2x−(x+1)=limx→3x2−9√10+2x−(x+1)⋅√10+2x+(x+1)√10+2x+(x+1)=limx→3(x2−9)(√10+2x+(x+1))10+2x−(x2+2x+1)=limx→3(x2−9)(√10+2x+(x+1))−(x2−9)=limx→3√10+2x+(x+1)−1=√10+2(3)+(3+1)−1=−8






18.Nilai limx→0(4x√1−2x−√1+2x) = ...
jawab=
limx→04x√1−2x−√1+2x=limx→04x√1−2x−√1+2x⋅√1−2x+√1+2x√1−2x+√1+2x=limx→04x(√1−2x+√1+2x)(1−2x)−(1+2x)=limx→04x(√1−2x+√1+2x)−4x=limx→0√1−2x+√1+2x−1=√1−2(0)+√1+2(0)−1=−2

19.Nilai limx→4(x−4)√x−2 = ...


jawab=
limx→ 4x−4√x−2=limx→ 4(√x −2)(√x+2)√x−2=limx→ 4(√x+2)=√4+2=4

20.Nilai limx→32−√x+1x−3=...
jawab=
limx→32−√x+1x−3=limx→32−√x+1x−3⋅2+√x+12+√x+1=limx→34−(x+1)(x−3)(2+√x+1)=limx→3−(x−3)(x−3)(2+√x+1)=limx→3−12+√x+1=−12+√3+1=−14

21.Nilai dari limx→∞((2x−1)−√4x2−6x−5)=...
jawab=
Misalkan  limx→∞((2x−1)−√4x2−6x−5)=L

L=limx→∞(√(2x−1)2−√4x2−6x−5)=limx→∞(√4x2−4x+1−√4x2−6x−5)

a = 4,  b = -4,  c = 1
p = 4,  q = -6,  r = -5

Karena a = p maka berlaku
L=b−q2√a=−4−(−6)2√4=24=12

22. Nilai limx→∞(√9x2+6x−2−3x+1)=...
jawab=
Misalkan  limx→∞(√9x2+6x−2−3x+1)=L

L=limx→∞(√9x2+6x−2−(3x−1))=limx→∞(√9x2+6x−2−√(3x−1)2)=limx→∞(√9x2+6x−2−√9x2−6x+1)

a = 9,  b = 6,  c = -2
p = 9,  q = -6,  r = 1

Karena a = p, maka berlaku :
L=b−q2√a=6−(−6)2√9=126=2
.Nilai dari limx→∞(√4x2+4x−3−(2x−5))=...
jawab=Misalkan  limx→∞(√4x2+4x−3−(2x−5))=L

L=limx→∞(√4x2+4x−3−√(2x−5)2)=limx→∞(√4x2+4x−3−√4x2−20x+25)

a = 4,  b = 4,  c = -3
p = 4,  q = -20,  r = 25

Karena a = p maka berlaku
L=b−q2√a=4−(−20)2√4=244=6

23. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.?
jawab=Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 + 120/x
            Biaya proyek dalam x hari : (4x – 800 + 120/x)x

            f(x) = 4x² – 800x + 120

            Agar biaya minimum :

            f’(x) = 0

            f’(x) = 8x – 800

                 0 = 8x – 800

              8x = 800     

                x = 100 jam

24. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 +         2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …

Jawab=Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 + 2000/x

Biaya proyek dalam x hari : (4x – 160 + 2000/x)x

f(x) = 4x² – 160x + 2000

Agar biaya minimum :

f’(x) = 0

f’(x) = 8x – 160

      0 = 8x – 160

    8x = 160

       x = 20 hari

Jadi biaya minimum per hari adalah

= (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah

= (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah

= (80 – 160 + 100) ribu rupiah

= 20 ribu rupiah

= 20.000

25. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah …

Jawab=f(x) = cos³ x

f’(x) = 3 cos² x (-sin x)

         = -3 cos² x sin x

         = -3/2 cos x (2 cos x sin x)

         = -3/2 cos x sin 2x

26. Jika f(x) = sin² (2x + π/6), maka nilai f′(0) = …f(x) = sin² (2x + π/6)

Jawab=  f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2)

                        = 4 sin (2x + π/6)

               f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6)

                        = 4 sin (π/6)

                        = 4(1/2)

                        = 2

27. Diketahui f(x) = (x – 2)2.Tentukan turunanya…

Jawab=

f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4

f (x)  = x2 – 4x + 4

f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0

f’(x) = 2x – 4

28. Diketahui f(x) = 6x⁴ – 2x³ + 3x² – x – 3  dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x).Nilai f’(1) adalah…

Jawab=          

f(x) = 6x⁴ – 2x³ + 3x² – x – 3 

          f’(x) = 24x³ – 6x² + 6x – 1 – 3

           f’(1)= 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1 -3   

                 = 24 – 6 + 6 -1 -3

                 = 20

29. Turunan pertama dari f(x) = 2x³ + 3x² – x + 2 adalah f’(x).Nilai f’(1) adalah....

Jawab=

 f(x) = 2x³ + 3x² – x + 2

 f’(x) = 6x² + 6x – 1 + 2

 f’(1)= 6.1 + 6.1 – 1 + 2

                  = 6 + 6 – 1 +2

                  = 1

30.Diketahui  f(x) = 2x³ + 3x – 4 .Tentukan turunannya ...

Jawab=

 f(x) = 2x³ +3x-4

 f’(x) =  2 . 3x³-1 + 3 . 1x ^1-1 -0

 f’(x) = 6x²  + 3

31.Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x³ + 2x² + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah....

Jawab=

f(x) = 5x³ +2x² + 6x + 12

f’(x) = 15x²+ 4x +6

f’(3) = 15 . 3²  +4 . 3 + 6

                      = 135 + 12 + 6

                      = 153

32.Diketahui fungsi f(x) = 3x⁴ + 2x³ -  x + 2 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) adalah...

Jawab=

 f (x) = 3x⁴ + 2x³ – x + 2

 f’ (x) = 12x ³ + 6x² – 2

f’(1) = 12 + 6 + 2

                   = 18 – 2

                   =16

33.Diketahui fungsi f(x) = x⁵ +10x⁴ +5x² -3x-10 dan f’ adalah turunan pertama dari  f. Nilai f’ (1) adalah....

Jawab=

f(x) = x⁵ +10x⁴ +5x²-3x-10

f’(x) = 5x⁴ + 40x³ + 10x-3-10

f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3  − 10

                 = 5 + 40 +10 – 3 – 10

                 = 42  

34.Turunan pertama fungsi  f(x) =(3x ²-5)⁴  adalah f’(x) =....

            Jawab=

            f(x) =(3x ²-5)⁴

            f’(x) = (6x – 5 )⁴

35.Diketahui  f(x) = x⁶ + 12x⁴ +2x² – 6x + 8.Dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) adalah....
jawab    f(x) = x⁶ + 12x⁴ +2x² – 6x + 8

           f’(x)= 6x⁵ + 48x³ – 6 + 8

           f’(1)= 6.1 + 48.1 – 6 + 8

                 = 6 + 48 – 6 + 8

                 = 56

36. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah …

Jawab=f(x) = cos³ x

f’(x) = 3 cos² x (-sin x)

         = -3 cos² x sin x

         = -3/2 cos x (2 cos x sin x)

         = -3/2 cos x sin 2x

37. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
        jawab. = f(x)   = 3x⁴ + 2x² − 5x
                         f (x) = 4⋅3x^{4− 1} + 2⋅2x²⁻¹ − 5x^1-1
                        f (x) = 12x³ + 4x¹ − 5x⁰
                        f (x) = 12x³ + 4x – 5

38. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 2x³ + 7x
            jawab=f(x) = 2x³ + 7x
                           f (x) = 6x² + 7

39. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 10x
jawab= f(x) = 10x
            f(x) = 10x¹
            f ‘(x) = 10x¹⁻¹
            f ‘(x) = 10x⁰
            f ‘(x) = 10

40.Tentukan turunan pertama dari fungsi  f(x) = 8
jawab= f(x) = 8
            f(x) = 8x⁰
            f ‘(x) = 0⋅ 8x⁰⁻¹
            f ‘(x) = 0

41. Carilah nilai integral tak tentu berikut ∫ (2x + 1)(x - 5) dx
jawab= ∫ (2x + 1)(x - 5) dx
            ⇔ ∫ 2x² + 9x - 5 + c = 2/3 x³ + 9/2 x² - 5x + c

42. Carilah nilai integral dari : ∫ dx /4x³
            jawab            = ∫ dx/ 4x³ = 1/4 ∫ x^-3 dx

                        ⇔ 1/ 4 (x^-2/ -2 ) + c

                        ⇔ x^-2/ -8 + c

                        ⇔ -1 / 8x² + c

43. Carilah nilai integral dari : ∫ x² - 4x + 3/ x² – x . dx

jawab            =∫ x² - 4x + 3/ x² - x . dx

⇔ ∫ (x - 1)(x - 3)/ x(x - 1) dx

⇔ ∫ (x - 1)(x - 3)/ x(x - 1) dx

⇔ ∫ x – 3/ x. dx

⇔ ∫ 1 – 3/ x. dx

⇔ ∫ 1 dx - ∫ 3/ x. dx

⇔ x - 3 ln|x| + c

44.Carilah nilai integral dari : ∫ 4x⁶ - 3x⁵ – 8/ x⁷ . dx
jawab            = ∫ 4x⁶ - 3x⁵ – 8/ x⁷ . dx

⇔ ∫ 4/ x – 3/ x² – 8/ x⁷

⇔ 4 ln|x| - 3(-1)(x^-1) - 8(- 1/ 6 )(x^-6) + c

⇔ 4 ln|x| + 3/ x + 8/ 6x³ + c